Bsp.: LGS mit Parametern lösen
Das Beispiel von Seite 323:
$$\begin{array}{ccc|c}x_1 & x_2 & x_3 & =\\\hline1 & -2 & 1 & 1\\2 & -1 & 1 & k\\3 & -3 & k & 2\end{array}$$
Die Nebenrechnungen \(-2I+II\) und \(-3+III\) führen zu:
$$\begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 & =\\ \hline 1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 3 & -1 & k-2\\ 0 & 3 & k-3 & -1 \end{array}$$
und mit \(-II+III\) wird auch in der letzten Zeile und zweiten Spalte eine Null erzeugt.
$$\begin{array}{ccc|c} x_1 & x_2 & x_3 & =\\ \hline 1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 3 & -1 & k-2\\ 0 & 0 & k-2 & 1-k \end{array}$$
Jetzt muss "nur" noch nach \(x\) aufgelöst werden:
$$\begin{alignedat}{2} (k-2)x_3 &=1-k &|:(k-2)\\ x_3 &=\frac{1-k}{k-2} \end{alignedat}$$
$$\begin{alignedat}{4} 3x_2 &-1x_3 &= &k-2\\ 3x_2 &-\frac{1-k}{k-2} &= &k-2 &|+\frac{1-k}{k-2}\\ 3x_2 & &= &\frac{k-2}{1}+\frac{1-k}{k-2} &|\text{erweitern}\\ 3x_2 & &= &\frac{(k-2)^2}{k-2}+\frac{1-k}{k-2}\\ 3x_2 & &= &\frac{k^2-4k+4}{k-2}+\frac{1-k}{k-2}\\ 3x_2 & &= &\frac{k^2-5k+5}{k-2} &|:3\\ x_2 & &= &\frac{k^2-5k+5}{3(k-2)} \end{alignedat}$$
$$\begin{alignedat}{5} x_1 &-2x_2 &+x_3 &=1\\ x_1 &+\frac{-2(k^2-5k+5)}{3(k-2)} &+\frac{1-k}{k-2} &=1|erweitern\\ x_1 &+\frac{-2(k^2-5k+5)}{3(k-2)} &+\frac{3(1-k)}{3(k-2)} &=1\\ x_1 &+\frac{-2k^2+10k-10}{3(k-2)} &+\frac{3-3k}{3(k-2)} &=1\\ x_1 &+\frac{-2k^2+7k-7}{3(k-2)} & &=1|-(\frac{-2k^2+7k-7}{3(k-2)})\\ x_4 & & &=1-\frac{-2k^2+7k-7}{3(k-2)}|erweitern\\ x_1 & & &=\frac{3k-6}{3(k-2)}+\frac{-(-2k^2+7k-7)}{3(k-2)}\\ x_1 & & &=\frac{2k^2+3k-7k-6+7}{3(k-2)}\\ x_1 & & &=\frac{2k^2-4k+1}{3(k-2)}\\\end{alignedat}$$
und damit hat man schon folgendes Ergebnis:
$$L=\Big\{\Big(\frac{2k^2-4k+1}{3(k-2)};\frac{k^2-5k+5}{3(k-2)};\frac{-k+1}{k-2}\Big) k \in \R \backslash \{ 2 \} \Big \}$$
Anzumerken ist, dass diese komplizierte Auflösung leider wenig Punkte gibt, sodass sie ihre Zeit nicht wert ist. Aus dem Grund wird sie in der Klausur auch nicht gefordert. Lediglich \(x_3\) soll berechnet werden.